Question

已知函數f(x)=x+

3

x

（1）用函數單調定義研究函數f（x）在區間（0，+∞）上的單調性；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性，并證明之；
（3）根據函數的單調性和奇偶性作出函數f（x）的圖象，寫出該函數的單調減區間．

Answer 1

分析：（1）先任意取兩個變量，且界定其大小，再作差變形看符號，注意變形到等價且到位．
（2）先看函數f（x）的定義域是否關于原點對稱，在此基礎上再研究f（-x）與f（x）的關系．
（3）通過（1）（2）的結論描述圖象，結合圖象寫出單調區間．

解答：解：（1）任意取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂.f(x1)-f(x2)=(x1+

3

x1

)-(x2+

3

x2

)=(x1-x2)(1-

3

x1x2

)=(x1-x2)

x1x2-3

x1x2

（3分）
因為x₁＜x₂所以x₁-x₂＜0
當x1，x2∈(0，

3

]時，0＜x₁x₂＜3所以x₁x₂-3＜0
所以f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）．
所以f（x）在（0，

3

]上是單調減函數．（6分）
同理可證f（x）在（

3

，+∞）上是單調增函數．（8分）
（2）函數f（x）的定義域為x|x≠0，x∈R關于原點對稱（9分）
因為f(-x)=-x-

3

x

=-f(x).
所以f（x）是奇函數．（12分）
（3）圖象為
（14分）
函數f（x）的單調減區間為(-

3

，0)和(0，

3

)（16分）

點評：本題主要考查函數的單調性和奇偶性的判斷與證明，同時還考查了利用性質作出函數圖象，這類作圖不是很準確，但在數形結合中解決問題很有效．