Question

已知△ABC的周長為

3

+3，且sinB+sinC=

3

sinA．
（1）求邊BC的長；
（2）若△ABC的面積為sinA，求角A的度數．

Answer 1

分析：（1）設A、B、C所對的邊分別為a、b、c，根據已知等式結合正弦定理，得b+c=

3

a，再由△ABC的周長a+b+c=

3

+3，即可解出a=

3

，從而得到邊BC的長；
（2）根據正弦定理關于面積的公式，結合△ABC的面積S=sinA，解出bc=2．再由b+c=

3

a=3，算出b²+c²=5，將所求得的數據代入余弦定理關于cosA的式子，可得cosA=

1

2

，進而可得A=60°．

解答：解：（1）設A、B、C所對的邊分別為a、b、c
∵sinB+sinC=

3

sinA，
∴根據正弦定理，得b+c=

3

a
又∵△ABC的周長為a+b+c=

3

+3，
∴（1+

3

）a=

3

+3，解之得a=

3

，即邊BC的長等于

3

；
（2）根據正弦定理關于面積的公式，得
S=

1

2

bcsinA=sinA，可得bc=2
∵b+c=

3

a=3
∴b²+c²=（b+c）²-2bc=5
因此，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

5-3

2×2

=

1

2

∵A∈（0，π），∴角A的度數為60°

點評：本題給出三角形的周長和三個角正弦的關系式，求邊BC的大小并在已知三角形面積的情況下求角A的度數，著重考查了正弦定理的面積公式和用正余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．