Question

如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，ΔABD和ΔBCD均為等邊三角形，
AB ="2" , AC =．  
（I）求證：平面BCD；                                  
（II）求二面角A-BC- D的大小；                                                        
（III）求O點到平面ACD的距離．                                                      

Answer 1

，

解法一：


證明：連結OC,

∴．   ----------------------------------------------------------------------------------1分
,，
∴ ．                ------------------------------------------------------2分
在中，     
∴即   -------------------------------------------------------------3分
      
∴平面．  ---------------------------------------------------------------------------4分
（II）過O作，連結AE，
,
∴AE在平面BCD上的射影為OE．
∴．
∴．  -----------------------------------------7分
在中，,,，    ------------------8分
∴．
∴二面角A-BC-D的大小為．   ---------------------------------------------------9分
（III）解：設點O到平面ACD的距離為
，
∴．
在中， ，
．
而，
∴．
∴點O到平面ACD的距離為．-----------------------------------------------------14分
解法二：
（I）同解法一．
（II）解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，
則      -------------------------------------------5分
，
∴．  -------------------------------------------------6分
設平面ABC的法向量，
，，
由．----------------------------------------8分
設與夾角為，
則．
∴二面角A-BC-D的大小為．  -------------------------------------------------9分
（III）解：設平面ACD的法向量為，又， 
．   -----------------------------------11分
設與夾角為，
則    -----------------------------------------------------------------12分
設O 到平面ACD的距離為h，
∵，
∴O到平面ACD的距離為．  ---------------------------------- -----------------------14分