Question

三棱錐P—ABC中，側面PAC與底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.

(1)求證:AB⊥BC；

(2)如果AB=BC=，求側面PBC與側面PAC所成二面角的大小.

Answer 1

(1)證明:如圖，取AC的中點D，連結PD、BD.

因為PA=PC，所以PD⊥AC.

又已知面PAC⊥面ABC，所以PD⊥面ABC，D為垂足.

因為PA=PB=PC，

所以DA=DB=DC.可知AC為△ABC的外接圓直徑，因此AB⊥BC.

(2)解:

因為AB=BC，D為AC的中點，所以BD⊥AC.

又面PAC⊥面ABC，所以BD⊥平面PAC，D為垂足.

作BE⊥PC于點E，連結DE，

因為DE為BE在平面PAC內的射影，

所以DE⊥PC，∠BED為所求二面角的平面角.

在Rt△ABC中，AB=BC=，所以BD=.

在Rt△PDC中，PC=3，DC=，PD=，

所以DE=.

因此，在Rt△BDE中，tan∠BED==,∠BED=60°,

所以側面PBC與側面PAC所成的二面角為60°.