Question

定義在R上的f（x）滿足f（x）=f（x+2），當(dāng)x∈[3，5]時，f（x）=2-|x-4|，α，β是鈍角三角形的兩銳角，則下列正確的個數(shù)是（　�。�
①f（sinβ）＜f（cosα）；
②f（sin（-α）＜f（cosβ）；
③f（cosα）＞f（sin（-β））；
④f（sinα）＞f（cosβ）．

• A、4個
• B、3個
• C、2個
• D、1個

Answer 1

分析：本題考查的是函數(shù)的單調(diào)性、分段函數(shù)以及有關(guān)三角的綜合類問題．在解答時，首先要結(jié)合分類討論研究好當(dāng)x∈[3，5]時，f（x）的解析式，畫出圖象后再結(jié)合周期性將整個實屬集上的圖象畫出，結(jié)合圖象即可讀出奇偶性又可知道函數(shù)在（0，1）上的單調(diào)性，進而問題即可獲得解答．

解答：解：由題意函數(shù)f（x）的解析式為：
f(x)=

-x+6，4≤x≤5 x-2，3≤x＜4

，
又因為在R上的f（x）滿足f（x）=f（x+2），
所以函數(shù)是以2為周期的函數(shù)．
故函數(shù)在實數(shù)集上的圖象如圖，
由圖象可知：函數(shù)為偶函數(shù)且在（0，1）上為減函數(shù)．
所以：∵α+β＜

π

2

，
∴α＜

π

2

-β或β＜

π

2

-α
∴sinα＜sin(

π

2

-β) =cosβ，同理sinβ＜cosα
所以：f（sinα）＞f（cosβ）、f（sinβ）＞f（cosα）
又知函數(shù)為偶函數(shù)，∴f（sin（-α））f（-sinα）=f（sinα），f（sin（-β））=f（sinβ）
所以①②③不正確．
故選D．

點評：本題考查的是函數(shù)的單調(diào)性、分段函數(shù)以及有關(guān)三角的綜合類問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想以及函數(shù)單調(diào)性知識和周期性知識的靈活應(yīng)用．值得同學(xué)們體會反思．