Question

22、對于函數f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的不動點   已知函數f（x）=ax²+（b+1）x+（b-1）（a≠0）
（1）若a=1，b=-2時，求f（x）的不動點；
（2）若對任意實數b，函數f（x）恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知中不動點的含義就是方程的根，所以只要轉化成解方程即可；
（2）函數f（x）恒有兩個相異的不動點，就是說方程有兩個不同的實根，利用根的判別式解決．

解答：解：（1）當a=1，b=-2時，f（x）=x²-x-3，
由題意可知x=x²-x-3，得x₁=-1，x₂=3
故當a=1，b=-2時，f（x）的兩個不動點為-1，3
（2）∵f（x）=ax²+（b+1）x+（b-1）（a≠0）恒有兩個不動點，
∴x=ax²+（b+1）x+（b-1），
即ax²+bx+（b-1）=0恒有兩相異實根
∴△=b²-4ab+4a＞0（b∈R）恒成立
于是△′=（4a）²-16a＜0解得0＜a＜1
故當b∈R，f（x）恒有兩個相異的不動點時，0＜a＜1．

點評：函數與方程的思想是最重要的一種數學思想，要注意函數，方程與不等式之間的相互聯系和轉化．