Question

（本小題滿分14分）如圖5，是△的重心，、分別是邊、上的動點，且、、三點共線．（1）設，將用、、表示；
（2）設，，證明：是定值；
（3）記△與△的面積分別為、．求的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)   （Ⅲ）

：（1）
．…2分
（2）一方面，由（1），得；①
另一方面，∵是△的重心，
∴   ②…4分
而、不共線，∴由①、②，得…6分
解之，得，∴（定值）．…………………8分
（3）．……………………10分
由點、的定義知，，
且時，；時，．此時，均有．
時，．此時，均有．
以下證明：．
（法一）由（2）知，
∵，∴．…………………………12分
∵，∴．
∴的取值范圍．………………………………14分
（法二），
令，則，其中．
利用導數，容易得到，關于的函數在閉區間上單調遞減，在閉區間上單調遞增．………………………………12分
∴時，．
而或時，均有．
∴的取值范圍．…………………………14分
注：也可以利用“幾何平均值不小于調和平均值”來求最小值．