Question

已知函數f(x)=a+

2

bsin(x+

π

4

)的圖象過點（0，1），當x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為2

2

-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）寫出由f（x）經過平移 變換得到的一個奇函數g（x）的解析式，并說明變化過程．

Answer 1

分析：（1）利用函數f(x)=a+

2

bsin(x+

π

4

)的圖象過點（0，1），求出一個關系式，通過x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為2

2

-1，討論b的情況，求出a，b即可得到函數的解析式．
（2）由f（x）沿x軸向右平移

π

4

個單位再向上平移1個單位得g（x）．即可得到所求結果．

解答：解：（1）由題意f（0）=a+b①
又x∈[0，

π

2

]，則x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，1≤

2

sin(x+

π

4

)≤

2

當b＞0時，fmax(x)=f(

π

4

)=a+

2

b=2

2

-1②由①②得a=-1，b=2
當b＜0時，fmax(x)=f(0)=a+b=2

2

-1③由①③得，a，b無解
所以f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)-1
（2）由f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)-1沿x軸向右平移

π

4

個單位再向上平移1個單位得g（x）．所以g(x)=2

2

sinx是奇函數，
所以由f（x）沿x軸向右平移

π

4

個單位再向上平移1個單位得g（x）．

點評：本題是基礎題，考查函數解析式的求法，注意函數的最值的應用，考查三角函數的基本性質，考查邏輯推理能力，計算能力．