Question

在直角坐標系xOy中，直線l的方程為x-y+4=0，
曲線C的參數方程為 ．
（Ⅰ）已知在極坐標（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標為（4，），判斷點P與直線l的位置關系；
（Ⅱ）設點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最值．
（Ⅲ）請問是否存在直線m ， m∥l且m與曲線C的交點A、B滿足；
若存在請求出滿足題意的所有直線方程，若不存在請說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）點P在直線上（Ⅱ）當時，d取得最小值，且最小值為
當時，d取得最大值，且最大值為3
（Ⅲ）

解析試題分析：（Ⅰ）把曲線C的參數方程轉化為曲線C的普通方程，再把點P的極坐標轉化為普通坐標，由此能判斷點P與直線l的位置關系．
（Ⅱ）由Q在曲線C上知Q到直線l：x-y+4=0的距離，由此能求出Q到直線l的距離的最小值．
（Ⅲ）設出平行線m方程，然后與橢圓方程聯立，結合弦長公式以及點到直線的距離公式即可。
試題解析：（Ⅰ）把極坐標系下的點化為直角坐標，得P（0，4）。    2分
因為點P的直角坐標（0，4）滿足直線的方程， 所以點P在直線上. 4分
（Ⅱ）因為點Q在曲線C上，故可設點Q的坐標為5分
從而點Q到直線的距離為
  6分
由此得，當時，d取得最小值，且最小值為
當時，d取得最大值，且最大值為3    8分
（Ⅲ）設平行線m方程：x-y+n = 0                       9分

設O到直線m的距離為d，則        10分
 
經驗證均滿足題意 ，所以滿足題意直線m有4條，方程為： 12分
考點：簡單曲線的極坐標方程；直線與圓錐曲線的關系；參數方程化成普通方程．