Question

（本小題滿分14分）
已知函數；．
（1）當時，求函數f（x）在上的值域；
（2）若對任意，總有成立，求實數的取值范圍；
（3）若（為常數），且對任意，總有成立，求M的取值范圍．

Answer 1

（1）f（x）在的值域為
（2）實數的取值范圍為
（3）當時，M的取值范圍是；
當時，M的取值范圍是

解：（1）當時，
-因為f（x）在上遞減，-----------------2分
所以，即f（x）在的值域為----------------4分
（法二），
，對稱軸，
時為增函數，---------------2分
，f（x）在的值域為------------------4分
（2）由題意知，在上恒成立。
，    

∴在上恒成立
∴ -----------------------------5分
設，，，由得 t≥1，
設，,

（可用導數方法證明單調性：）
所以在上遞減，在上遞增，-------------------------------7分
在上的最大值為， 
在上的最小值為 
所以實數的取值范圍為------------------------------------9分
（3），
∵ m>0 ，     
∴ 在上遞減，--------------------------10分
∴   
即----------------------------------------11分
①當，即時，，
此時 ，-----------------------------------------------------------12分
②當，即時，，
此時 ，---------------------------------------------------------13分
綜上所述，當時，M的取值范圍是；
當時，M的取值范圍是-----------------------------14分