Question

若關于x的方程log2(ax2-2x+2)=2在區間[

1

2

，2]上有解，則實數a的取值范圍為

[

3

2

，12]

．

Answer 1

分析：方程log₂（ax²-2x+2）=2在區間 [

1

2

，2]有解，轉化為在 [

1

2

，2]內有值使 a=

2

x2

+

2

x

成立，求出函數的值域即可得到a的范圍．

解答：解：方程log₂（ax²-2x+2）=2在 [

1

2

，2]內有解，則ax²-2x-2=0在 [

1

2

，2]內有解，
即在 [

1

2

，2]內有值使 a=

2

x2

+

2

x

成立
設 u=

2

x2

+

2

x

=2(

1

x

+

1

2

)2-

1

2

，
當 x∈[

1

2

，2]時，u∈[

3

2

，12]，
∴a∈[

3

2

，12]，
∴a的取值范圍是

3

2

≤a≤12．
故答案為：[

3

2

，12]

點評：考查存在性問題求參數范圍，本題是存在性求值域．要注意與恒成立問題的解法的區別，此類題一般構思比較巧妙，要求有較強的邏輯推理能力進行正確的轉化．