Question

在△ABC中，tanA=

1

2

，tanB=

1

3

．若△ABC的最長(zhǎng)邊為1，則最短邊的長(zhǎng)為（　　）

• A．

  4 5

  5

• B．

  3 5

  5

• C．

  2 5

  5

• D．

  5

  5

Answer 1

分析：由三角形的內(nèi)角和定理得到C=π-（A+B），然后利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，將tanA和tanB的值代入即可求出tanC的值，由C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)，得到C為鈍角，根據(jù)大角對(duì)大邊可得c為最大邊，根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性由tanB小于tanA，得到B小于A，即b小于a，可得最短的變?yōu)閎，根據(jù)tanB的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，由sinB，sinC和c的值，利用正弦定理即可求出b的值．

解答：解：tanC=tan[π-（A+B）]
=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=-1，
∵0＜C＜π，∴C=

3π

4

，
∵0＜tanB＜tanA，
∴A、B均為銳角，則B＜A，
又C為鈍角，∴最短邊為b，最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為c，
由 tanB=

1

3

，解得 sinB=

10

10

，
由

b

sinB

=

c

sinC

，
∴b=

c•sinB

sinC

=

1× 10 10

2 2

=

5

5

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：兩角和與差的正切函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，三角形的邊角關(guān)系，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及正弦定理，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．