Question

已知關于x的方程4x²－2(m+1)x+m=0的兩個根恰好是一個直角三角形的兩個銳角的余弦，求實數m的值.

Answer 1

設直角三角形的兩個銳角分別為α、β，則可得α+β=，
∴cosα=sinβ
∵方程4x²－2(m+1)x+m=0中，Δ=4（m+1)²－4·4m=4(m－1)²≥0
∴當m∈R，方程恒有兩實根.
又∵cosα+cosβ=sinβ+cosβ=，cosα·cosβ=sinβcosβ=
∴由以上兩式及sin²β+cos²β=1，得1+2·=()²
解得m=±
當m=時，cosα+cosβ=＞0，cosα·cosβ=＞0，滿足題意，
當m=－時，cosα+cosβ=＜0，這與α、β是銳角矛盾，應舍去.
綜上，m=