Question

下面四個命題：
①已知函數f(x)=

x  ，x≥0  -x  ，x＜0

且f（a）+f（4）=4，那么a=-4；
②一組數據18，21，19，a，22的平均數是20，那么這組數據的方差是2；
③要得到函數y=sin(2x+

π

3

)的圖象，只要將y=sin2x的圖象向左平移

π

3

單位；
④已知奇函數f（x）在（0，+∞）為增函數，且f（-1）=0，則不等式f（x）＜0的解集{x|x＜-1}．
其中正確的是

②

．

Answer 1

分析：①因是分段函數，所以要討論．②利用平均數和方差公式即可．③由橫坐標的變換規律“左加右減”可得到變換后的表達式，再進行比較即可．④由已知條件畫出圖象即可得出答案．

解答：解：①∵f（4）=

4

=2，∴f（a）=4-f（4）=4-2=2．當a≥0時，f（a）=

a

=2，解得a=4；當a＜0時，f（a）=

-a

=2，解得a=-4．故①不正確．
②∵（18+21+19+a+22）÷5=20，解得a=20，∴方差s²=

1

5

×[(-2)2+12+(-1)2+02+22]=2．故②正確．
③若將y=sin2x的圖象向左平移

π

3

單位，得y=sin[2(x+

π

3

)]=sin(2x+

2π

3

)=sin(π+2x-

π

3

)=-sin(2x-

π

3

)≠sin(2x+

π

3

)．故③不正確．
④由奇函數的圖象關于原點對稱，且函數f（x）在（0，+∞）為增函數，且f（-1）=0，可得f（1）=-f（-1）=0，（若f（x）在x=0有意義，則f（0）=0），如圖所示：
∴不等式f（x）＜0的解集為{x|x＜-1，或0＜x＜1}．
故答案為②

點評：本題綜合考查了函數的性質、三角變換及統計量，深刻理解以上知識是解決問題的關鍵．