Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，，為拋物線上不重合的兩動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，過(guò)，作拋物線的切線，，直線，交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的方程；

（2）問(wèn)：直線是否過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，說(shuō)明理由；

（3）三角形的面積是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，；（3）是，.

【解析】

（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)直接求拋物線方程；

（2）設(shè)直線的方程是，與拋物線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)，用坐標(biāo)表示，并代入根與系數(shù)的關(guān)系，求得定點(diǎn)；

（3）由（2）知，直線的方程是，與拋物線方程聯(lián)立，得到

，，求弦長(zhǎng)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求過(guò)，作拋物線的切線，，并求交點(diǎn)的坐標(biāo)，求點(diǎn)到直線的距離，并求的面積，和面積的最小值.

（1）由得，所以拋物線方程為．

（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，與對(duì)稱軸平行，沒(méi)有兩個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，，

由得，則，．

又，得，即，

∴，所以直線過(guò)定點(diǎn)．

（3）由得，則，

∴

設(shè)，由，

所以直線，即．

同理直線，

又直線，交于點(diǎn)，則有，

可知點(diǎn)、在直線上，與直線方程對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，

則，

則到直線的距離．

所以三角形的面積

則當(dāng)時(shí)，．