已知橢圓
的左右焦點分別為
，點
為短軸的一個端點，
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）如圖，過右焦點
，且斜率為
的直線
與橢圓相交于
兩點，
為橢圓的右頂點，直線
分別交直線
于點
，線段
的中點為
，記直線
的斜率為
.
求證: 
為定值.
（1）
；（2）詳見解析
解析試題分析：（1）由點為短軸的一個端點可知
，在直角三角形
中已知
，從而可得
。因為
，所以
.（2）設過點
的直線方程為：
，與橢圓方程聯立消去
整理為關于
的一元二次方程，設點
即
為方程的兩根，可得根與系數的關系。由斜率公式可分別求得直線
和直線
的斜率，根據點斜式可得兩直線方程。直線和直線分別與直線聯立，求交點
。根據中點坐標公式可得點
坐標。根據斜率公式求。即可證得為定值。
解：（1）由條件可知
， 2分
故所求橢圓方程為. 4分
（2）設過點的直線方程為：. 5分
由
可得：
6分
因為點在橢圓內，所以直線
和橢圓都相交，即
恒成立.
設點，則
. 8分
因為直線的方程為：
，
直線的方程為：
， 9分
令，可得
，
，
所以點的坐標
. 10分
直線的斜率為
12分
所以
為定值
. 13分
考點：1橢圓的簡單性質及方程；2直線與橢圓的位置關系；
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如圖,
為坐標原點,橢圓
的左右焦點分別為
,離心率為
;雙曲線
的左右焦點分別為
,離心率為
,已知
,且
.
(1)求
的方程;
(2)過
點作
的不垂直于
軸的弦
,
為的中點,當直線
與
交于
兩點時,求四邊形
面積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（12分）（2011•福建）如圖，直線l：y=x+b與拋物線C：x2=4y相切于點A．
（Ⅰ）求實數b的值；
（Ⅱ）求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知點
是橢圓
上任一點，點到直線
的距離為
，到點
的距離為
，且
．直線
與橢圓交于不同兩點
、
(，都在
軸上方)，且
．
（1）求橢圓的方程；
（2）當為橢圓與
軸正半軸的交點時，求直線方程；
（3）對于動直線，是否存在一個定點，無論
如何變化，直線總經過此定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線的方程為
，直線
的方程為
，點
關于直線的對稱點在拋物線上．
（1）求拋物線的方程；
（2）已知
，點
是拋物線的焦點，
是拋物線上的動點，求
的最小值及此時點的坐標；
（3）設點
、
是拋物線上的動點，點
是拋物線與
軸正半軸交點，
是以為直角頂點的直角三角形．試探究直線
是否經過定點？若經過，求出定點的坐標；若不經過，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本小題滿分12分）
已知直線
：
和橢圓
，橢圓C的離心率為
，連結橢圓的四個頂點形成四邊形的面積為
.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線與橢圓C有兩個不同的交點，求實數m的取值范圍；
（3）當
時，設直線與y軸的交點為P，M為橢圓C上的動點，求線段PM長度的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知動圓
與圓
相切，且與圓
相內切，記圓心的軌跡為曲線
；設
為曲線上的一個不在
軸上的動點，
為坐標原點，過點
作
的平行線交曲線于
兩個不同的點.
（1）求曲線的方程；
（2）試探究
和
的比值能否為一個常數？若能，求出這個常數，若不能，請說明理由；
（3）記
的面積為
，
的面積為
，令
，求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（2011•浙江）已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+（y﹣4）2=1的圓心為點M
（1）求點M到拋物線C1的準線的距離；
（2）已知點P是拋物線C1上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，設Ｐ是圓
上的動點，點Ｄ是Ｐ在
軸上投影，Ｍ為PD上一點，且
．
（1）當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；
（2）求過點（3，0）且斜率為
的直線被C所截線段的長度．
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