Question

【題目】已知是定義在上的函數，滿足.

（1）證明：2是函數的周期；

（2）當時，，求在時的解析式，并寫出在（）時的解析式；

（3）對于（2）中的函數，若關于x的方程恰好有20個解，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）當時，，當（）時， （3）

【解析】

（1）根據，代換得到得到證明.

（2）當時，，則，代入化簡得到答案.

（3）畫出函數圖像，根據函數的圖像與直線的交點個數得到答案.

（1）因為，所以，

所以2是函數的周期.

（2）當時，，則，

又，即，解得.

所以當時，，所以

的周期為2，當（）時，

（3）作出函數的圖像，則方程解的個數就是函數的圖像與直線的交點個數.

若，則（）都是方程的解，不合題意.

若，則是方程的解，要使方程恰好有20個解，在區間上，有9個周期，每個周期有2個解，在區間上有且僅有一個解.

則解得，.若，同理可得.

綜上.