Question

已知函數f（x）=2x²-2ax+b，f（-1）=-8．對?x∈R，都有f（x）≥f（-1）成立；記集合A={x|f（x）＞0}，B={x||x-t|≤1}．
（I）當t=1時，求（C_RA）∪B．
（II）設命題P：A∩B≠空集，若￢P為真命題，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：本題考查的是集合運算和命題的真假判斷與應用的綜合類問題．在解答時：
（I）首先根據條件利用二次函數最值得性質求的二次函數的解析式，進而將集合A具體化，又因為t=1所以可以將集合B具體化，從而問題即可獲得解答；
（Ⅱ）首先要將條件進行轉化，即命題P：A∩B≠空集為假命題，再結合集合A、B的特征利用數軸即可獲得必要的條件，解不等式組即可獲得問題的解答．

解答：解：由題意（-1，-8）為二次函數的頂點，
∴f（x）=2（x+1）²-8=2（x²+2x-3）．
A={x|x＜-3或x＞1}．
（Ⅰ）B={x||x-1|≤1}={x|0≤x≤2}．
∴（C_RA）∪B={x|-3≤x≤1}∪{x|0≤x≤2}={x|-3≤x≤2}．
∴（C_RA）∪B={x|-3≤x≤2}．
（Ⅱ）∵B={x|t-1≤x≤t+1}．且由題意知：命題P：A∩B≠空集為假命題，
所以必有：

t-1≥-3 t+1≤1

?

t≥-2 t≤0

，
∴實數t的取值范圍是[-2，0]．

點評：本題考查的是集合運算和命題的真假判斷與應用的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現了二次函數的知識、集合運算的知識以及命題的知識．同時問題轉化的思想也在此題中得到了很好的體現．值得同學們體會和反思．