Question

設A₁、A₂是橢圓

x2

9

+

y2

4

=1=1的長軸兩個端點，P₁、P₂是垂直于A₁A₂的弦的端點，則直線A₁P₁與A₂P₂交點的軌跡方程為（　　）

• A、

  x2

  9

  +

  y2

  4

  =1
• B、

  y2

  9

  +

  x2

  4

  =1
• C、

  x2

  9

  -

  y2

  4

  =1
• D、

  y2

  9

  -

  x2

  4

  =1

Answer 1

分析：由已知中A₁、A₂是橢圓

x2

9

+

y2

4

=1=1的長軸兩個端點，P₁、P₂是垂直于A₁A₂的弦的端點，則P₁、P₂的橫坐標相等，縱坐標相反，故設p₁（x，y），則p₂（x，-y），由橢圓的參數方程，分別求出A₁P₁的方程和A₂P₂的方程（含參數θ），聯立方程后，消去參數θ即可得到滿足條件的曲線方程．

解答：解：設p₁（x，y），則p₂（x，-y）
p₁，p₂在橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上，
則x=3sinθ，y=2cosθ
則A₁P₁的方程為

-3-x

0-y

=

3sinθ+3

2cosθ

①
A₂P₂的方程為

3-x

0-y

=

-3sinθ+3

2cosθ

②
Q（x，y）為A₁P₁，A₂P₂的交點．聯立方程①，②得x=cscθ，y=2ctgθ
消去θ可得

x2

9

-

y2

4

=1
故選C

點評：本題考查的知識點是軌跡方程，橢圓的簡單性質，其中根據橢圓的參數方程，求出A₁P₁的方程和A₂P₂的方程，進而求出兩條直線交點的坐標，是解答本題的關鍵．