Question

設函數f（x）=|x²-4x-5|，g（x）=k（x-7）
（1）畫出f（x）的簡圖；
（2）若方程f（x）=g（x）有三個不等實根，求k值的集合；
（3）如果x∈[-1，5]時，函數f（x）的圖象總在直線y=k（x-7）的下方，試求出k值的集合．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）將函數y=x²-4x-5的圖象x軸下方的圖象翻折到x軸上方，保持x軸上方的圖象不變，可得函數f（x）=|x²-4x-5|的圖象；
（2）方程f（x）=g（x）有三個不等實根，即函數f（x），g（x）的圖象有且只有三個交點，根據（1）中函數圖象及g（x）=k（x-7）圖象恒過（7，0）點，可知直線y=k（x-7）與拋物線f（x）=-（x²-4x-5），x∈[-1，5]弧段相切時，滿足要求，進而可得答案．
（3）如果x∈[-1，5]時，函數f（x）的圖象總在直線y=k（x-7）的下方，由（2）結合（1）中圖象可得：k＜-2．

解答： 解：（1）將函數y=x²-4x-5的圖象x軸下方的圖象翻折到x軸上方，
保持x軸上方的圖象不變，
可得函數f（x）=|x²-4x-5|的圖象如下：

（2）x∈[-1，5]時，f（x）=-（x²-4x-5），
令-（x²-4x-5）=k（x-7），則x²+（k-4）x-7k-5=0，
當△=（k-4）²+4（7k+5）=（k+2）（k+18）=0時，直線y=k（x-7）與拋物線f（x）=-（x²-4x-5），x∈[-1，5]弧段相切，
解得：k=-2或k=-18．
當k=-2時，解得x=3，滿足要求，
當k=-18時，解得x=11，不滿足要求，
∴k=-2時直線y=k（x-7）與拋物線f（x）=-（x²-4x-5），x∈[-1，5]弧段相切于點（3，8）
同時，直線y=k（x-7）與拋物線f（x）=-（x²-4x-5），x∉[-1，5]部分相交于不同兩點．
由圖形可知，直線y=k（x-7）繞點（7，0）轉動時，除k=-2外的所有直線與圖象無公共點或有兩個公共點或有四個公共點．故k=-2為所求．
故滿足條件的k值的集合為{-2}．
（3）如果x∈[-1，5]時，函數f（x）的圖象總在直線y=k（x-7）的下方，
由（2）結合（1）中圖象可得：k＜-2

點評：本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，對折變換，方程的根與函數的零點，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．