Question

如圖，直線l_l：y=2x與直線l₂：y=-2x之間的陰影區域（不含邊界）記為w，其左半部分記為w₁，右半部分記為W₂．
（1）分別用不等式組表示w₁和w₂：
（2）若區域W中的動點P（x，y）到l₁，l₂的距離之積等于4，求點P的軌跡C的方程；
（3）設不過原點的直線l與曲線C相交于M_l，M₂兩點，且與l_l，l₂如分別交于M₃，M₄兩點．求證△OM_lM₂的重心與△OM₃M₄的重心重合．
【三角形重心坐標公式：△ABC的頂點坐標為A（x_l，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），則△ABC的重心坐標為（，）】

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圖象可知W₁是直線y=2x和y=-2x左半部分之間的點的集合，W₂是y=2x和y=-2x左半部分之間的點的集合進而可得答案．
（2）利用點到直線的距離公式，根據動點P（x，y）到l₁，l₂的距離之積等于4，建立等式，求得x和y的關系式，即點P的軌跡方程．
（3）先看當直線l與x軸垂直時設直線l的方程為x=a，進而求得M₁M₂，M₃M₄的中點坐標，判斷出△OM₁M₂，△OM₃M₄的重心坐標都為（，0），再看
直線l₁與x軸不垂直時，設出直線l的方程與P的軌跡方程聯立，消去y，判別式大于0，設M₁，M₂的坐標，表示出x₁+x₂和y₁+y₂，設M₃，M₄的坐標把直線y=2x和y=mx+n表示出x₃和x₄，求得x₃+x₄=x₁+x₂，進而求得y₃+y₄=y₁+y₂，推斷出△OM₁M₂的重心與△OM₃M₄的重心重合．
解答：解：（1）由圖象可知，．
（2）由題意知，×=4得=1，又P在W內，故有．
（3）當直線l與x軸垂直時，可設直線l的方程為x=a（a≠O）．由于直線l，曲線C關于x軸
對稱，且ll₁與l₂關于x軸對稱，于是M₁M₂，M₃M₄的中點坐標都為（a，0），
所以△OM₁M₂，△OM₃M₄的重心坐標都為（，0），即它們的重心重合．
當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=mx+n（n≠O），
由，得（4-m²）x²-2mnx-n²-20=0，
由直線l與曲線C有兩個不同交點，可知4-m²≠0，且
△=（2mn）²+4（4-m²）（n²+20）＞0…（1分）
設M₁，M₂的坐標分別為（x_l，y₁），（x₂，y₂）．
則x_l+x₂=，y₁+y₂═m （x_l+x₂）+2n
設M₃，M₄的坐標分別為（x₃，x₄），（x₄，y₄）．
由與，得x₃=，x₃=
從而x₃+x₄==x₁+x₂
所以y₃+y₄=m （x₃+x₄）+2n=m （x₁+x₂）+2n=y₁+y₂
所以=，=
于是AOM₁ M₂的重心與△OM₃M₄的重心也重合．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生分析推理和數形結合的思想的運用綜合性較強，運算量較大．