Question

若函數f（x）對任意實數x，y滿足：f（x+y）=f（x）+f（y），且f（2）=0，則下列結論正確的是

①②③

．
①f（x）是周期函數；②f（x）是奇函數；③f（x）關于點（1，0）對稱；④f（x）關于直線x=1對稱．

Answer 1

分析：根據題意，依次分析4個命題：對于①，令y=2，有f（x+2）=f（x）+f（2），又由f（2）=0，則f（x+2）=f（x），由函數的周期性的定義可得①正確；對于②，令x=y=0，有f（0）=f（0）+f（0），可得f（0）=0，再令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），即f（x）=-f（-x），由奇函數的定義可得②正確；對于③，由①可得f（x+2）=f（x），又由②可得f（x）=-f（-x），則有f（x+2）=-f（-x），由函數的對稱性可得③正確；對于④，由③可得④錯誤；綜合可得答案．

解答：解：根據題意，依次分析4個命題：
對于①，在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=2，有f（x+2）=f（x）+f（2），又由f（2）=0，則f（x+2）=f（x），可得f（x）是周期函數，故①正確；
對于②，在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=0，有f（0）=f（0）+f（0），可得f（0）=0，再令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），即f（x）=-f（-x），可得f（x）是奇函數，故②正確；
對于③，由①可得f（x+2）=f（x），又由②可得f（x）=-f（-x），則有f（x+2）=-f（-x），即f（x）關于點（1，0）對稱，③正確；
對于④，由③可得，f（x）關于點（1，0）對稱，則f（x）不會關于直線x=1對稱，④錯誤；
故答案為①②③．

點評：本題考查抽象函數的運用，涉及函數周期性、奇偶性、對稱性的判斷，解此類題目，一般用特殊值法．