Question

設x≥1，y≥1，證明：x+y+

1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy．

Answer 1

分析：直接利用分析法，通過移項變形，轉化為基本不等式，即可證明不等式成立．

解答：證明：要證x+y+

1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy，
只需證明

1

xy

-

1

x

-

1

y

≤xy-x-y，
只需證明(1-

1

x

)(1-

1

y

)≤(1-x)(1-y)=（x-1）（y-1），
只需證明1-

1

x

≤x-1；1-

1

y

≤y-1，
即證x+

1

x

≥2，y+

1

y

≥2，（x≥1，y≥1）這是均值不等式，
所以x≥1，y≥1，x+y+

1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy得證．

點評：本題考查分析法證明不等式的方法，注意分析法的證明步驟，考查邏輯推理能力．