Question

（2009•青島一模）設橢圓M：

x2

a2

+

y2

8

=1(a＞2

2

)的右焦點為F₁，直線l：x=

a2

a2-8

與x軸交于點A，若

OF1

+2

AF1

=

0

（其中O為坐標原點）．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設P是橢圓M上的任一點，EF為圓N：x²+（y-2）²=1的任一條直徑，求

PE

•

PF

的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定A，F₁的坐標，利用

OF1

+2

AF1

=

0

，建立方程，從而可求橢圓M的方程；
（Ⅱ）利用向量的數量積運算，將求

PE

•

PF

的最大值轉化為求

NP

2的最大值，利用配方法可求．

解答：解：（Ⅰ）由題設知：A(

a2

a2-8

，0)，F1(

a2-8

，0)
由

OF1

+2

AF1

=

0

得：

a2-8

=2(

a2

a2-8

-

a2-8

)
解得a=2

6

，
∴橢圓M的方程為M：

x2

24

+

y2

8

=1
（Ⅱ）

PE

•

PF

=(

NE

-

NP

)•(

NF

-

NP

)=(-

NF

-

NP

)•(

NF

-

NP

)=(-

NP

)2-

NF

2=

NP

2-1
從而將求

PE

•

PF

的最大值轉化為求

NP

2的最大值
P是橢圓M上的任一點，設P（x₀，y₀），則有

x02

24

+

y02

8

=1，即x02=24-8y02
又N（0，2），
∴

NP

2=x02+(y0-2)2=-2(y0+1)2+30
∵y0∈[-2

2

，2

2

]，
∴當y₀=-1時，

NP

2取最大值30
∴

PE

•

PF

的最大值為29…（14分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查向量的數量積，考查配方法求函數的最值，屬于中檔題．