Question

【題目】設函數．

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）若函數有兩個極值點，且，求證： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，函數在上單調遞增；

當時，函數在區間單調遞增; 在區間函數單調遞減;

當時， 函數單調遞減, 函數單調遞增;

（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：

試題分析：（Ⅰ）函數的定義域為，得到，令，則，分和分類討論，即可求解函數的單調區間.

（Ⅱ）當函數有兩個極值點時,得,令,利用和函數的最值，即可證明結論.

試題解析：

（Ⅰ）函數的定義域為，

令，則．

①當時， , ，從而，故函數在上單調遞增；

②當時， , 的兩個根為 ，

當時， ，此時，當函數單調遞減;當函數單調遞增．

當時， ,此時函數在區間單調遞增;當函數單調遞減．

綜上: 當時，函數在上單調遞增；當時，函數在區間單調遞增; 在區間函數單調遞減; 當時， 函數單調遞減, 函數單調遞增.

（Ⅱ）當函數有兩個極值點時, ,,

且 即,

令

,令,函數單調遞增;

令,函數單調遞減;

,