Question

已知平面α與平面β相交，直線m⊥α，則

1. A.
   β內必存在直線與m平行，且存在直線與m垂直
2. B.
   ω內不一定存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直
3. C.
   β內不一定存在直線與m平行，但必存在直線與m垂直
4. D.
   β內必存在直線與m平行，卻不一定存在直線與m垂直

Answer 1

C
分析：作兩個相交平面，交線為n，使直線m⊥α，然后利用反證法說明，假設β內一定存在直線a與m平行，根據面面垂直的判定定理證明α⊥β，這與平面α與平面β相交不一定垂直矛盾，然后根據線面垂直的性質說明β內必存在直線與m垂直，從而證得結論．
解答：作兩個相交平面，交線為n，使直線m⊥α，
假設β內一定存在直線a與m平行，
∵直線m⊥α，而a∥m
∴直線a⊥α，而a?β
∴α⊥β，這與平面α與平面β相交不一定垂直矛盾
∴β內不一定存在直線a與m平行；
∵直線m⊥α，n?β
∴直線m⊥直線n
∴β內必存在直線與m垂直
故選C．
點評：本題主要考查了直線與平面垂直的性質，以及面面垂直的判定，同時考查了反證法，以及推理論證的能力，屬于中檔題．