Question

【題目】已知橢圓的離心率是，且橢圓經過點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線： 與圓相切：

（ⅰ）求圓的標準方程；

（ⅱ）若直線過定點，與橢圓交于不同的兩點，與圓交于不同的兩點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2），

【解析】試題分析：

（1）由橢圓過點和其離心率可得，故可得橢圓的方程．（2）由題可得直線的斜率存在，設出直線的方程后根據直線與橢圓、圓的位置關系分別求出弦長，求得后根據所得目標函數的特點選擇求最值的方法求解即可．

試題解析：

(1) 橢圓經過點，

，解得

，

，解得

∴橢圓的標準方程為

(2) (i)圓的標準方程為,圓心為，

∵直線： 與圓相切，

∴圓的半徑,

∴圓的標準方程為．

（ⅱ）由題可得直線的斜率存在,設,

由消去整理得，

∵直線與橢圓交于不同的兩點，

∴，

解得．

設,

則

∴

，

又圓的圓心到直線的距離,

∴圓截直線所得弦長,

，

設

則,

,

∵，

∴ ，

∵的取值范圍為．