Question

在△ABC中，，，BC=2．
（Ⅰ）若，求sinC；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由A與B的度數求出C的度數，即可求出sinC的值；
（Ⅱ）由正弦定理列出關系式，根據B表示出C代入計算即可得證；
（Ⅲ）利用平面向量的數量積運算化簡所求的式子，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個叫的正弦函數，由B的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質即可求出范圍．
解答：解：（Ⅰ）sinC=sin（π-A-B）=sin=；
（Ⅱ）證明：在△ABC中，由正弦定理得=，
∵BC=2，sinA=，B+C=，
∴AB==4sin（-B）；
（Ⅲ）∵||=2，||=4sin（-B），
∴•=||||cosB=8sin（-B）cosB=8cosB（cosB+sinB）=4sin（2B+）+2
=2+2cos2B+2sin2B=4sin（2B+）+2，
∵B∈（，），∴2B+∈（，），
∴sin（2B+）∈[-1，-），
則•=的取值范圍是[-2，0）．
點評：此題考查了正弦定理，平面向量的數量積運算，兩角和與差的正弦函數公式，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．