Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=ex ．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）當a≠0時，過原點分別作曲線y=f（x）與y=g（x）的切線l1 ， l2 ， 已知兩切線的斜率互為倒數，證明： ＜a＜ ；
（3）設h（x）=f（x+1）+g（x），當x≥0，h（x）≥1時，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，函數f（x）的定義域為（0，+∞），對f（x）求導，得 ．

①若a≤0，對一切x＞0有f'（x）＞0，函數f（x）的單調遞增區間是（0，+∞）．

②若a＞0，當 時，f'（x）＞0；當 時，f'（x）＜0．

所以函數f（x）的單調遞增區間是 ，單調遞減區間是

（2）解：設切線l2的方程為y=k2x，切點為（x2，y2），則 ， ，

所以x2=1，y2=e，則 ．

由題意知，切線l1的斜率為 ，l1的方程為 ．

設l1與曲線y=f（x）的切點為（x1，y1），則 ，

所以 ， ．

又因為y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，整理得 ． （6分）

令 ，則 ，m（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．

若x1∈（0，1），因為 ， ，所以 ，

而 在 上單調遞減，所以 ．

若x1∈（1，+∞），因為m（x）在（1，+∞）上單調遞增，且m（e）=0，則x1=e，

所以 （舍去）．

綜上可知，

（3）解：證明：h（x）=f（x+1）+g（x）=ln（x+1）﹣ax+ex， ．

①當a≤2時，因為ex≥x+1，所以 ，h（x）在[0，+∞）上遞增，h（x）≥h（0）=1恒成立，符合題意．

②當a＞2時，因為 ，所以h′（x）在[0，+∞）上遞增，且h′（0）=2﹣a＜0，則存在x0∈（0，+∞），使得h′（0）=0．

所以h（x）在（0，x0）上遞減，在（x0，+∞）上遞增，又h（x0）＜h（0）=1，所以h（x）≥1不恒成立，不合題意．綜合①②可知，所求實數a的取值范圍是（﹣∞，2]

【解析】（1）利用導數求函數的單調區間，注意對參數a的分類討論；（2）背景為指數函數y=ex與對數函數y=lnx關于直線y=x對稱的特征，得到過原點的切線也關于直線y=x對稱，主要考查利用導函數研究曲線的切線及結合方程有解零點存在定理的應該用求參數的問題，得到不等式的證明；（3）考查利用導數處理函數的最值和不等式的恒成立求參數的范圍問題，求導過程中用到了課后習題ex≥x+1這個結論，考查學生對課本知識的掌握程度．