Question

【題目】如圖，在四棱柱中， 底面， ， ，且， ．點在棱上，平面與棱相交于點．

（Ⅰ）求證： 平面．

（Ⅱ）求證： 平面．

（Ⅲ）求三棱錐的體積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意證得根據線面平行的判定定理即可證明A1F∥平面B1CE；
（Ⅱ）由題意證得，根據線面垂直的判定定理即可證明AC⊥平面CDD1C1；（Ⅲ）根據， 為定值，即為長度為，而，由題意得即求得三棱錐體積的范圍.

試題解析：

（Ⅰ）∵在棱柱中，

平面平面，

又∵平面平面，

平面平面，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面．

（Ⅱ）在底面中，

， ，

， ， ，

∴，

，

，

∴， ，

∵平面，

平面，

∴，

在四棱柱中，

，

∴，

∵平面，

平面，

，

∴平面．

（Ⅲ）

，

∵為定值，即為長度為．

而，過點作，

∴，

∵長度界于與之間，

即，

∴ ，

∴三棱錐體積在間．

即三棱錐的體積的取值范圍