Question

定義在區間[2，4]上的函數f（x）=3^x-m，（m為常數）的圖象過點（2，1），設f（x）的反函數是f^-1（x），則函數F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）的值域為

[2，5]

．

Answer 1

分析：先根據函數過點（2，1）求出m的值，從而求出f（x），然后求出反函數f^-1（x），求出F（x）的解析式和定義域，然后求出值域即可．

解答：解：根據函數f（x）=3^x-m（m是實常數）的圖象過點（2，1），
可知f（2）=3^2-m=1，解得m=2
∴f（x）=3^x-2
f^-1（x）=2+log₃x  （x∈[1，9]）
f^-1（x²）=2+2log₃x  （x∈[1，3]）
F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）=（2+log₃x ）²-2-2log₃x 
=（log₃x ）²+2log₃x+2  （log₃x∈[0，1]
∴F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）的值域為[2，5]
故答案為：[2，5]

點評：本題主要考查了函數的解析式，以及指數函數的反函數，同時考查了利用二次函數研究函數的值域，屬于中檔題．