Question

1996年諾貝爾化學獎授予對發現C₆₀有重大貢獻的三位科學家。C₆₀分子是形如球狀的多面體，如右圖，該結構的建立基于以下考慮：C₆₀分子中每個碳原子只跟相鄰的3個碳原子形成化學鍵；C₆₀分子只含有五邊形和六邊形；碳與碳之間既有單鍵又有雙鍵，每個碳原子仍然滿足四個價鍵飽和；多面體的頂點數、面數和棱邊數的關系，遵循歐拉定理：頂點數+面數-棱邊數=2。
請完成下列問題：
(1)一個C₆₀分子中有多少個五邊形和多少個六邊形？
(2)一個C₆₀分子中有多少個C=C？
(3)已知C₇₀分子的結構模型也遵循C₆₀的那些規律，請確定C₇₀分子結構中上述幾項參數。

Answer 1

(1)一個C₆₀分子中有12個五邊形和20個六邊形。
(2)一個C₆₀分子中有30個C=C。
(3)C₇₀分子結構中的五邊形和六邊形的個數分別為12、25，C—C單鍵數和C=C雙鍵數分別為70、35。

(1)設C₆₀分子中含有個五邊形和個六邊形。?
先求歐拉定理中棱邊數：每個頂點伸出三條棱，而每條棱又總是由兩個頂點共有，所以，每個頂點單獨伸出的棱有3×1/2=1.5條，60個頂點共伸出的棱為60×1.5=90條。至此，依據歐拉定理可寫出：　①
為了求出和，還要建立一個方程式。因為五邊形和六邊形構成多面體時是共用棱邊和頂點的，所以，還可以根據棱邊數守恒和頂點數守恒寫出兩個方程式。
棱邊數守恒：每條棱是由兩個多面體共用的，所以，一個五邊形單獨占有的棱邊數為5/2=2.5條，一個六邊形單獨占有的棱邊數為6/2=3條，所以，　②
至此聯立①②可以解得：=12，=20。
(2)首先要明確一個概念：在圖中頂點間形成的棱都以單線標出，但有的是表示單鍵，有的是表示雙鍵。從空間結構來說，每個碳原子連接三條棱，而從化學價鍵來說，每個碳原子連接四條鍵線。(一個雙鍵也只是一個鍵，可以說有兩條鍵線但不能說是兩個鍵)。設一個C₆₀分子中含的C—C單鍵數和C=C雙鍵數分別為，則根據棱邊守恒有：　④
再利用鍵線守恒列一個方程式。每個原子連接四條鍵線而每條鍵線被兩個原子所共有，所以，每個原子單獨占有的鍵線數為4/2=2，所以，60個碳原子共有鍵線120條：　⑤
聯立④⑤解得：=60， =30。即C₆₀中含的雙鍵數為30。
(3)設C₇₀分子結構中的五邊形和六邊形的個數分別為，設C—C單鍵數和C=C雙鍵數分別為，則一個C₇₀分子中的棱邊總數為70×1.5=105；依據歐拉定理有：　⑥；依據頂點數守恒有：　⑦；聯立⑥⑦得：=12,=25。?
根據棱邊守恒又寫出：=105　⑧；根據鍵線守恒有：=70×2=140　⑨；聯立⑧⑨得：=70，=35。即C₇₀中含的雙鍵數為35。