Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|tx﹣2|﹣|tx+1|，a∈R．
（1）當t=1時，解不等式f（x）≤1；
（2）若對任意實數(shù)t，f（x）的最大值恒為m，求證：對任意正數(shù)a，b，c，當a+b+c=m時， ≤m．

Answer 1

【答案】
（1）解：t=1時，f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|，

，

所以f（x）≤1，

故不等式的解集為[0，+∞）

（2）解：由絕對值不等式得||tx﹣2|﹣|tx+1|≤|（tx﹣2）﹣（tx+1）||=3，

所以f（x）最大值為3，故m=3，

故 + + ≤ + +

≤ + + = =3，

當且僅當a=b=c=1時等號成立，

故原結(jié)論成立．

【解析】（1）求出f（x）的分段函數(shù)的形式，求出f（x）的最大值，求出不等式的解集即可；（2）根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)求出m的值，結(jié)合不等式的性質(zhì)證明即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解絕對值不等式的解法(含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號)．