Question

【題目】如圖所示，假設在某個廣場的某個燈柱上靠著一個醉鬼，他在燈柱周圍隨便走動，先朝一個方向走上幾步，然后換個方向再邁上幾步，如此這般，每走幾步就隨意折個方向。那么，他在這樣彎彎折折地走了一段路程，比如折了100次以后，他離燈柱有多遠呢？

Answer 1

【答案】10m

【解析】

我們用嚴格的數學方法來解答這個問題。

以廣場上的燈柱為原點Ο建立坐標系，假設x軸指向南方，y軸指向東方，R表示醉鬼走過n個轉折后（圖中n為10）與燈柱的距離，實際上，醉鬼也不是按直線走路的，該圖不是醉鬼實際運動的軌跡，若用和分別表示醉鬼所走路徑的第n個分段在相應兩軸上的投影 這里的x和y既有正數，又有負數，視這位醉鬼在各段具體路程中是離開還是接近燈柱而定，既然他的運動是完全無序的，因此在x和y的取值中，正數和負數的個數應該差不多。將上式第一項展開，有

②

這一長串數字包括了x的所有平方項和x的“混合積”，由于醉鬼走路是無規則的，他朝燈柱走和背著燈柱走的可能性相等，因此在x的各個取值中，正負會各占一半，這樣，在那些“混合積”里，總是可以找出數值相等、符號相反的一對對可以互相抵消的數來，n的數目越大，這種抵消就越徹底。而平方項是正數，這樣①式中的第1項就變成

。

X表示各段路程在x軸上投影長度的平均值（嚴格地說是方均根值）。同理，①式中第2項也能轉化成，Y是各段路程在y軸上投影長度的平均值。這里利用了統計規律，考慮了由于運動的任意性所產生的可抵消的“混合積”。因此得到醉鬼離開燈柱的距離為

，即。

各路程的平均投影在兩軸上是45°,所以就等于平均路程長度，用L來表示這個平均路程長度，可得。

即醉鬼在走了許多段不規則的彎路后，離燈柱的最可能距離為各段路程的平均長度乘以路徑段數的平方根。因此，如果這個醉鬼每走lm就拐一個彎，那么在走了100m的長路后，他距燈柱的距離約為10m。