Question

【題目】在直角坐標系xOy中，二次函數y=x2+mx﹣3的圖象與x軸交于A，B兩點，點C的坐標為（0，1）．當m變化時，解答下列問題：
（1）以AB為直徑的圓能否經過點C？說明理由；
（2）過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：以AB為直徑的圓不經過點C，理由如下：

二次函數y=x2+mx﹣3的圖象與x軸交于A，B兩點，設A（x1，0），B（x2，0），

則x1x2=﹣3，

又C的坐標為（0，1），

故AC的斜率與BC的斜率之積為 =﹣ ，

所以不能出現AC⊥BC的情況，以AB為直徑的圓不經過點C

（2）解：設過A，B，C三點的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），

將A，B，C三點坐標帶入，

得x12+Dx1+F=0，x22+Dx2+F=0，1+E+F=0．

∴x1x2=﹣3=F，

從而E=2，

∴圓的方程為x2+y2+Dx+2y﹣3=0，令x=0，

得y2+2y﹣3=0，

∴y1=﹣3，y2=1，

進而得到圓在y軸上截得的弦長是定值為4

【解析】（1）以AB為直徑的圓是否經過點C，只需判斷AC所在直線與BC所在直線是否垂直，即兩直線的斜率積是否為-1.若積為-1，那么兩條線段互相垂直即經過點C，否則不經過；（2）先設出圓的一般方程，再將點A，B，C的坐標代入進行化簡求值，令x=0進而得到圓在y軸上截得的弦長值.
【考點精析】掌握二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．