Question

【題目】光滑的水平地面O上有一質量為M的滑塊，滑塊表面上有一質量可忽略的釘子O，O處系著長為l的輕繩，繩下系著質量為m的小球．開始時系統處于靜止狀態，如圖甲所示，輕繩與豎直甲方向有一很小的夾角，而后讓小球自由擺下，形成往返運動．設小球擺動過程中不會與滑塊表面接觸，也不會與地面接觸，且滑塊不會傾倒，試求小球的擺動周期．

Answer 1

【答案】

【解析】

先討論擺線長為l、幅角也為的單擺．設擺球質量為，則在的小過程中擺球的運動速度可由能量方程

求得，為．

該擺的周期為．

再討論題設擺的運動．擺球首先朝左方擺動，同時滑板因系統水平方向動量守恒而朝右運動。擺線到達左側與豎直線之間達夾角時，系統又處于靜止狀態．而后擺球將朝右方擺動，滑板朝左運動，再次回到初始狀態，完成系統的一次周期運動．這一周期運動中，擺球相對滑板做一次幅角為的類單擺運動

如圖乙所示，擺角為時擺球相對地面的水平、豎直分速度記為、，滑板的水平反向運動速度記為u，則據能量守恒有．

水平方向動量守恒關系為．

擺球相對滑板做圓運動，如圖丙所示，有運動關聯

．

圖中為擺球相對滑板的運動速率．由上述三式可得

．

為小量，可略，可得

，

．

參考圖示，可得．為小量，近似取1，有

．

于是，任意一對小過程的速度間均有確定的比例關系

各自對應的時間為，．

一對小過程所經時間均有確定的比例關系

全過程經歷時間T與之間的比例關系便為．

于是有．