Question

【題目】一個大容器中裝有互不相溶的兩種液體，它們的密度分別為和．現讓一長為L、密度為的均勻木棍，豎直地放在上面液體內，其下端離兩液體分界面的距離為3L/4，由靜止開始下落．試計算木棍到達最低處所需的時間．假定由于木棍運動而產生的液體阻力可以忽略不計，且兩液體都足夠深，保證木棍始終都在液體內部運動，既未露出液面，也未與容器相碰．

Answer 1

【答案】

【解析】

1．用S表示木棍的橫截面積，從靜止開始到其下端到達兩液體交界面為止，在這過程中，木棍受向下的重力和向上的浮力．由牛頓第二定律可知，其下落的加速度為．

用表示所需的時間，則，

由此解得．

2．木棍下端開始進入下面液體后，用表示木棍在上面液體中的長度，這時木棍所受重力不變，仍為，但浮力變為，當時，浮力小于重力；當時，浮力大于重力，可見有一個合力為零的平衡位置．用表示在此平衡位置時，木棍在上面液體中的長度，則此時有

，

由此可得．

即木棍的中點處于兩液體交界處時，木棍處于平衡狀態，取一坐標系，其原點位于交界面上，豎直方向為z軸，向上為正，則當木棍中點的坐標時，木棍所受合力為零，當中點坐標為z時，所受合力為

式中．

這時木棍的運動方程為

為沿z方向的加速度為

所以，．

由此可知為簡諧振動，其周期為．

為了求木棍同時．在兩種液體中運動的時間，先求振動的振幅A．木棍下端剛進入下面液體時，其速度為

由機械能守恒可知，

式中為此時木棍中心距坐標原點的距離。

由上述各式可得A=L．

由此可知，從木棍下端開始進入下面液體到棍中心到達坐標原點所走的距離是振幅的一半，從參考圓（如圖所示）上可知，對應的為30°，對應的時間為，因此木棍從下端開始進入下面液體到上端進入下面液體所用的時間，即棍中心從到所用的時間為

3．從木棍全部浸入下面液體開始，受力情況的分析和1中類似，只是浮力大于重力，所以做勻減速運動，加速度的數值與一樣，其過程和1中情況相反地對稱，所用時間．

4．總時間為．