Question

【題目】（1）如圖所示，有一半徑為、可以繞豎直軸轉動的圓盤，沿直徑方向開有一條凹槽，凹槽內有一根勁度系數為k、原長為的彈簧，彈簧一端固定在圓盤中心，另一端系有質量為m的小球．今將彈簧拉至l（）后，使小球與圓盤一起以角速度做勻角速轉動．已知小球與槽底的靜摩擦因數為，與k之間存在關系式：．問：在上述條件下，能否發生這樣的情況，只要適當調節的大小，使l在與范圍內，則無論取什么值總可使小球在凹槽中處于相對靜止狀態．如果認為不可能，應說明理由；如果認為可能，則計算的大小．

（2）如果上述小球與圓盤凹槽之間無摩擦存在，并且當圓盤以角速度做勻角速轉動時，將彈簧拉至，小球恰好相對靜止．現在將彈簧拉長至，而圓盤以角速度做勻角速轉動，那么，經過多少時間后，彈簧收縮至長度為？此時小球的速度有多大？

Answer 1

【答案】（1）（2）小球回到處的時間為 ； 此時有．

【解析】

（1）在隨圓盤轉動的參考系中，小球受到彈力、摩擦力與慣性離心力的作用，要使小球在槽中靜止，應有

，

整理得子．

顯然要求，即

上式可轉化為．

因為要求，

所以，應有，，

解得．

考慮到，所以有

．

（2）在無摩擦的情況下讓小球在處平衡，應有．

當彈簧的長度為l時，小球在隨圓盤轉動的參考系中受力為

，

則當時，小球將以處為平衡位置作m諧振，且

所以小球回到處的時間為

此時有．

回到地面系中，有

．