Question

【題目】在如圖所示的裝置中，上、下兩個容器和連接它們的細長管都是用熱容量很小的良導熱體做成的，管長為l,Κ為閥門，整個裝置與外界絕熱。開始時，閥門關閉，兩容器中都盛有質量為m，單位質量的熱容量為c的某種液體。平衡時，溫度都是。由于該液體的蒸汽分子受到重力的作用，所以平衡時，在管內的氣體分子并非均勻分布，而是上疏下密，已知其蒸汽壓強是按指數規律分布的，，式中h是管內某點距下面容器中液面的高度，是該點的蒸汽的壓強，是下面容器中液面處（即處）蒸汽的壓強，m是一個蒸汽分子的質量，Τ是熱力學溫度，k是一個常數。現在打開閥門，試論述該系統的狀態將發生怎樣的變化，并估算出變化最后的結果。

Answer 1

【答案】論述見解析

【解析】

（1）在打開閥門前，平衡時，上、下容器中液體表面處的蒸汽皆為飽和蒸汽。因為溫度相同，所以其飽和蒸汽壓相同。但在閥門兩旁，由指數分布規律可知，蒸汽的蒸汽壓不同。在閥門左邊，因為容器內液面上方空間的高度差很小，所以蒸汽壓幾乎等于液面處的飽和蒸汽壓；而在右邊，由于管較長，因此蒸汽壓明顯小于下面容器內液面處的飽和蒸汽壓，因而也小于閥門左邊的蒸汽壓。這樣，打開閥門后，左邊蒸汽將向右邊遷移。按照指數分布規律，將使下面容器中表面處的蒸汽壓大于飽和蒸汽壓，從而有一部分蒸汽液化（凝結），使下方容器中的液量增加，另一方面，上面容器中液面上方的蒸汽由于向閥門右邊遷移，從而使蒸汽壓降低，造成液面處的蒸汽壓小于飽和蒸汽壓。這樣，上面容器中液體將汽化（蒸發），使液體量減小。以上所述的過程將持續不斷地進行，直到上面容器中的液體全部汽化而凝結在下面容器中為止，此后狀態將不再變化。

（2）由于最后結果是上面容器中的液體全部轉移到下面容器中，所以從能量來看，上面質量為m的液體的重力勢能mgl轉化為總質量為2m的液體的內能，從而使系統溫度上升。若忽略容器、長管以及蒸汽等的熱容量的影響，用Τ表示最后的溫度，則由能量守恒定律可知

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