Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≤5﹣|x﹣1|的解集；
（2）若函數g（x）= ﹣f（2x）﹣a的圖象在（ ，+∞）上與x軸有3個不同的交點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：不等式f（x）≤5﹣|x﹣1|，即|x﹣2|≤5﹣|x﹣1|，即|x﹣2|+|x﹣1|≤5，

∴ ①；或 ②；或 ．

解①求得﹣1≤x＜1，解②求得1≤x≤2，解求得 2＜x≤4，

綜上可得，原不等式的解集為{x|﹣1≤x≤4}．

（2）若函數g（x）= ﹣f（2x）﹣a的圖象在（ ，+∞）上與x軸有3個不同的交點，

則方程 ﹣f（2x）=a在（ ，+∞）上有3個解，

即函數h（x）= ﹣|2x﹣2|= 的圖象和直線y=a 在（ ，+∞）上有3個交點．

當 ＜x＜1時，f（x）= +2x﹣2≥2 ﹣2，當且僅當 =2x，即x= 時，等號成立．

再根據f（ ）=1=f（1），當x≥1時，f（x）= ﹣2x+2單調遞減，如圖所示：

故a的取值范圍為（2 ﹣2，1）．

【解析】（1）零點分區間討論可得不等式解集，再取并集；（2）函數g（x）= ﹣f（2x）﹣a的圖象在（ ，+∞）上與x軸有3個不同的交點,進行參變分離，即為，在上有3個解，根據數形結合得到a的取值范圍.
【考點精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法的相關知識點，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能正確解答此題．