Question

【題目】已知動點， 都在曲線 (為參數)上，對應參數分別為與， 為的中點.

(1)求曲線的普通方程；

(2)將到坐標原點的距離表示為的函數，并判斷的軌跡是否過坐標原點.

Answer 1

【答案】(1) (2) ，當時， ， 的軌跡過坐標原點

【解析】試題分析：（1）消去參數，從而得曲線的普通方程；
（2）根據題意寫出P，Q兩點的坐標：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），再利用中點坐標公式得PQ的中點M的坐標，從而得出M的軌跡的參數方程；利用兩點間的距離公式得到M到坐標原點的距離，再驗證當α=π時，d=0，故M的軌跡過坐標原點．

試題解析：

(1)曲線的直角坐標方程： .

(2)依題意有， ，因此， 的軌跡的參數方程為 (為參數， )，

點到坐標原點的距離，當時， ，

故的軌跡過坐標原點.