Question

【題目】三根長度均為，質量均勻的直桿，構成一正三角形框架ABC．C點懸掛在一光滑水平轉軸上，整個框架可繞轉軸轉動．桿AB是一導軌，一電動玩具松鼠可在導軌上運動，如圖甲所示．現觀察到松鼠正在導軌上運動，而框架卻靜止不動，試論證松鼠的運動是一種什么樣的運動．

Answer 1

【答案】松鼠在導軌AB上的運動是以AB的中點O為平衡位置，振幅不大于，周期為2．64s的簡諧振動。

【解析】

先以剛性框架為研究對象。當框架處于靜止狀態時，作用于框架的各個力對轉軸C的力矩之和在任何時刻都應等于零，設在某一時刻，松鼠離桿AB的中點O的距離為x，如圖乙所示，松鼠在豎直方向對導軌的作用力等乙于松鼠受到的重力mg，m為松鼠的質量。此重力對轉軸C的力矩的大小為mgx，方向沿順時針方向。為使框架平衡，松鼠必須另對桿AB施一水平方向的力F，且F對轉軸C的力矩應與豎直方向的重力產生的力矩大小相等，方向相反．即當表示松鼠位置的坐標x為正時，F沿x的正方向，當x為負時，F沿x的負方向，如圖乙所示，并滿足平衡條件

，式中l為桿的長度．

所以下，即松鼠在水平方向上作用于桿AB的力要因松鼠所在的位置不同而進行調整，以保證得到滿足．

再以松鼠為研究對象．松鼠在運動過程中，沿豎直方向受到的合力為零，在水平方向受到桿AB的作用力為，根據牛頓第三定律，此力即F的反作用力，即

可見，松鼠在水平方向受到的作用力作用下的運動應是以O點為平衡位置的簡諧振動，其振動的周期為

，式中，

代入數據得．

當松鼠運動到桿AB的兩端時，它應反向運動，按簡諧振動規律，速度必須為零，所以松鼠做簡諧振動的振幅應小于或等于．（振幅等于與把松鼠視作質點相對應）

由以上論證可知：松鼠在導軌AB上的運動是以AB的中點O為平衡位置，振幅不大于，周期為2．64s的簡諧振動。