Question

【題目】已知橢圓 ，過點且不過點的直線與橢圓交于，兩點，直線與直線交于點．

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若垂直于軸，求直線的斜率；

（Ⅲ）試判斷直線與直線的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）平行，理由見解析．

【解析】

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程及其幾何性質、直線的斜率、兩直線的位置關系等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.（Ⅰ）先將橢圓方程化為標準方程，得到，，的值，再利用計算離心率；（Ⅱ）由直線的特殊位置，設出，點坐標，設出直線的方程，由于直線與相交于點，所以得到點坐標，利用點、點的坐標，求直線的斜率；（Ⅲ）分直線的斜率存在和不存在兩種情況進行討論，第一種情況，直接分析即可得出結論，第二種情況，先設出直線和直線的方程，將橢圓方程與直線的方程聯立，消參，得到和，代入到中，只需計算出等于即可證明，即兩直線平行.

試題解析：（Ⅰ）橢圓的標準方程為.

所以，，.

所以橢圓的離心率.

（Ⅱ）因為過點且垂直于軸，所以可設，.

直線的方程為.

令，得.

所以直線的斜率.

（Ⅲ）直線與直線平行.證明如下：

當直線的斜率不存在時，由（Ⅱ）可知.

又因為直線的斜率，所以.

當直線的斜率存在時，設其方程為.

設，，則直線的方程為.

令，得點.

由，得.

所以，.

直線的斜率.

因為

，

所以.

所以.

綜上可知，直線與直線平行.