Question

【題目】有半徑分別為R和2R的兩同軸薄壁圓筒A、B，兩筒壁間夾有一半徑恰為的小圓筒。當A、B兩筒分別以和的角速度沿相反方向勻速轉動時，小圈筒也跟著轉動。當小圓筒轉動時，與A、B兩筒的接觸點間無相對滑動，如圖所示。問：

（1）.小圓筒相對地面和相對B筒運動一周所需的時間各為多少？

（2）.小圓筒上與B筒的接觸點C此時相對地面和相對A筒的加速度各為多大？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；

【解析】

為了下面討論問題的方便，首先求出小圓筒的筒心O點相對地面的速度以及小圓筒繞O點轉動的。

利用小圓筒與A、B圓筒接觸點無滑動的條件可得C、D點的速度滿足：

，，

解得，。

1．小圓筒相對于地面運動一周需要的時間為

。

要求出小圓筒相對于B筒運動一周的時間，需求小圓筒中心相對于B筒的速度。因為小圓筒O點的絕對速度（對地）為，所以，小圓筒在B筒參考系中的牽連速度為，而且兩者的方向相同，則O相對于B筒的相對速度為

。

則小圓筒相對于B筒運動一周所需的時間為

。

2．先討論筒相對于地面的加速度。

在O點上架一個平動參考系，在此平動參考系中C相對于O點的加速度方向由C指向O，大小為。

再求平動參考系中的O點對地的加速度。

由于O點的線速度為一定值，所以這個加速度的方向由O指向，大小為，所以

。

在求C點相對于A的加速度之前，應先求出O相對于A筒的相對速度以及小圓筒在A筒參考系中的角速度。

易得。

另外，（相對于A簡）與的求法相同，得。

所以

。