Question

【題目】如圖甲所示，有兩個等質量的小球，在一光滑的水平直滑槽AB內運動，滑槽兩端有固定的壁。兩球之間及小球與壁之間的碰撞都是完全彈性的（即兩球經過碰撞交換速度）．開始時，1、2兩球分別位于將滑槽三等分的兩個分點處，兩球不等速但同方向。

(1)．若兩球之間的第二次碰撞是在滑槽中點迎面相碰，求兩球初速的比值；

(2)．若兩球之間的第5次碰撞是在滑槽中點迎面相撞，求兩球初速的比值，并回答滿足要求的解有幾種。

提示：可以先求出滿足要求的一種解（即初速比值），再求出滿足要求的所有的可能解。

Answer 1

【答案】（1）（2），時，； ，時，： ，時，； ，時，； ，時，。

【解析】

由于小球可視為質點且質量相同，碰撞又是完全彈性的，所以兩球每次碰撞之后，相互“交換速度”。因此，可以把兩個小球的運動過程等效為兩個彼此互不相碰的小球各自獨立按自己的初速在兩墻壁間運動。下面所說的兩小球就是指這樣的兩個等效的小球。

對這種情況，可使用圖乙所示的圖來說明兩小球在各時刻的位置。A、B為導軌的兩端，設小球1的初速為，其在導軌中的單獨運動如圖中的實線所示，小球2的初速為，其單獨運動如圖中虛線所示（設）。實線與虛線的每個交點都代表一次碰撞。

1．如圖丙所示，設AB長為l，則到第2次碰撞（為迎面相碰）時，小球1、2走過的路程分別為，

，

可得。

2．一種解可參看圖丙所示求得。此時

，

，

所以。

下面考慮滿足要求的所有可能解，設在t時刻兩小球在滑槽中點相碰，則小球1、2所經過的路程分別為，。

式中n與k可為零或任何正整教。由上述兩式得到。

按本題要求，兩球在滑槽中點相碰前必須經過4次碰撞，兩球在中點的碰撞為迎面相碰，則兩球中必須至少有一小球路程大于，小于，因而n、k中必須至少有一個為4，另一個的取值則可為0、1、2、3、4。又當n為奇數時，小球1在t時刻的運動方向為由B向A，n為偶數時為由A向B；k為奇數時，小球2在t時刻的運動方向為由A向B，k為偶數時為由B向A。若要兩球在t時刻迎面相碰，必須為偶數。故取值只能是，，，，5種。代入上式得

，時，；

，時，：

，時，；

，時，；

，時，。

共5種解。