Question

【題目】如圖所求，半徑為的空心球繞其本身豎直軸線旋轉，角速度，在球內高度為處有一木塊隨同球一起旋轉。問：

（1）摩擦因數至少為多少時才能實現這一情況？

（2）當時，實現這一情況的條件是什么？

（3）如果木塊的位置有微小的變化或球的角速度有微小的變化，木塊的穩定性如何？

Answer 1

【答案】（1）0.2259 （2）0.1792 （3）略

【解析】

木塊在運動過程中受到球面靜摩擦力的作用，要注意靜摩擦力的方向，第（3）問討論木塊的穩定性的方法比較有一般性.

因為要求的是最小摩擦因數，所以可以考慮是最大靜摩擦力．靜摩擦力的方向尚不明確，我們可以先讓它沿切線方向向上（即木塊有向下的滑動趨勢）. 此時木塊在轉動參照系中受到四個力而平衡：重力、摩擦力，彈力、慣性力（如圖乙所示）.

由平衡條件有，.

可解得，.

（1）將的數據代入，，可見是沿切線方向向上的，因此

.

（2）將的數據代入，，可見是沿切線方向向下的，因此

.

（3）要研究當木塊位置有微小變動（即有微小變動）或角速度有微小變動時木塊的穩定性，必須要看與、的相關性. 但從（1）（2）中的表達式可看出與、的關系是比較復雜的，此時我們可以用作圖像的方法來看它們的相關性.

和、粗略的圖像如圖丙所示.

從圖中可看出：如果不變而木塊上滑（即變大），那么變大，即需要較大的靜摩擦因數才能穩定，現在的不夠大，因此木塊將滑回原處；如果不變而變小，那么變小，即只需較小的靜摩擦因數就能穩定，現在的已足夠，所以木塊不會回到原處. 如果不變而變大，那么變小，所需的靜摩擦因數變小，已足夠，木塊將仍在原處；如果不變而變小，那么變大，所需的靜摩擦因數變大，不夠大，木塊將下滑，以便因的減小而使所需的減小，才能在新的位置上保持平衡.

和、的粗略圖像如圖丁所示.

用同樣的方法可看出：如果木塊向上滑動，它將停留在該處；如果木塊向下滑動，它將返回；若增加，木塊將向上移動；若減小，木塊將停留在該處.

本題的前兩問是非慣性系中的靜平衡問題，難度不大，但摩擦力的方向因不同的值而變化，這一變化隱含在表達式與具體的數據中，能否挖掘出來，值得閱讀時思考.

對于問題（3），首先是答題者能否正確木塊的穩定取決于與、之間的制約. 其次則是否從與、的關系式中分析出在微擾情況下的穩定性. 顯然，用解析方式進行分析，難度是可以預料的，能否順利地轉化為用圖像進行討論，成為能否解答的關鍵. 再次，則是答題者能否順利地完成作圖，并依據圖像作出定性分析，這是答題者能否正確解答的最后障礙了.

其實，每一塊知識都有一些“超難”的試題，這些試題即便你能順利閱讀，甚至短時間內也能在練習中復現，但并不等于你已經完全掌握，因為，不久以后，你仍然不能獨立地完成對它的解答. 但這并不是我們不閱讀、不訓練這類試題的理由，因為，這類試題的解答一定會給我們示范一些復雜問題的處理方式，而這些處理方式往往會被我們遷移至其他的一些并不難的習題解答之中，這正是我們學習與訓練此類習題的初衷.