Question

【題目】4只蝸牛在一個非常大的平臺上各自做勻速直線運動，其運動路徑的方向是隨機的（但是沒有平行的，也就是說任何兩只蝸牛都有可能相遇），但是沒有任何兩只以上的蝸牛的路徑會相交于一點。如果4只蝸牛可能相遇的次中的5次已經發生，我們是否可以預言第六次相遇能否發生？

Answer 1

【答案】不能

【解析】

方法1我們首先來考慮三只蝸牛彼此相遇的情況。

將蝸牛編號為1、2、3,它們在平面上的軌跡分別為、、，其運動方向如圖甲中箭頭所示。

若三只蝸牛能相遇,則它們只能相遇于A、B、C三點，設1號與2號相遇于A點時,3號此時還在D點,設A、D的連線為L,3號與1號和2號分別相遇于B點與C點,由于三只蝸牛都是做勻速運動的,那么2號運動AC這段距離的時間與3號運動DC這段距離的時間相等,由此可以作如下推斷,當1號與3號相遇于B點時,2號在點,由時間關系及勻速運動的規律易推得：，可得；；同樣可推得：2號與3號相遇于C點時,1號的位置與C點的連線應與直線AD平行.依此類推可得出:

三只蝸牛在運動過程中,它們任意時刻所在位置的連線都是與圖甲中的直線L平行的,如圖中的虛線與、、的交點位置就是它們各個時刻的位置也就是說,如果三只蝸牛能彼此相遇,它們任意時刻必定在同一直線上,如圖中的1、2、3點。

下面我們再回到4只蝸牛相遇的問題上。

將四只蝸牛編號為1、2、3、4,若它們的6次可能相遇中,只剩下3號與4號還沒有相遇,那么,由于1、2、3這三只蝸牛彼此相遇過,由前面的論述可知,這三只蝸牛必定在同一直線上;同理,由于2、3、4這三只蝸牛彼此相遇過,它們也必然在同一條直線上,由此可以確定,這四只蝸牛也必定在同一直線上,并且,這條直線在垂直于該直線方向上是勻速平移的。

如果我們以這四只蝸牛所在的直線做參照,那么,這四只蝸牛只能是在這條直線上運動,這樣,我們就很容易確定,當它們6次可能相遇中的5次已經發生后,剩下的一次能否相遇則取決于我們開始記錄蝸牛相遇時,蝸牛最初的位置,即問題的初態.我們不妨設置圖乙所示的情況,1、23、4四只蝸牛在同一直線上向同一方向運動,其速度大小分別為、、、，如果我們研究的最初位置如圖乙所示,或者說蝸牛從圖乙所示的位置開始運動,我們不難發現最初的5次相遇是能夠發生的,但3號與4號蝸牛則沒有相遇的機會;但如果在初態時將3號與4號的位置交換(這是可能的),那么,它們必定會相遇6次,也就是說,第6次相遇是可能發生的。

方法2：設四只蝸牛運動的平面為平面，在此基礎上引入時間軸t,建立三維坐標，則蝸牛在任一時刻t在平面上的位置可以通過三維坐標(時空坐標)進行描述.如三維坐標中的點所描述的就是在時刻t蝸牛在平面內的位置，如圖所示。

由于每只蝸牛的運動均為勻速直線運動,則蝸牛的位移與時間的關系是線性的,所以,每只蝸牛的運動軌跡在坐標內為一空間直線。

設四只蝸牛的軌跡分別為直線、、、，兩條直線的交點說明兩只蝸牛在同一時刻到達同一位置,即兩只蝸牛相遇.我們不妨設最后一次待證的相遇為、的交點,則由、、兩兩相交可知，、、一定在同一平面內(這一平面為一空間平面)，同理，由、、的兩兩相遇,也可確定、、也一定在同一平面內,因蝸牛的運動軌跡不能平行,即、不平行,即可確定、、、必定共面,加之、也不能平行,則、必定存在著一個交點,即這兩只蝸牛在同一時刻到達平面上的同一點,它們應該“相遇”。

問題是我們應該考慮實際情況,蝸牛的運動不可能是無邊界的,作為研究的起點,其相遇點的時間坐標應該滿足。所以,若、交點的時間坐標，則說明第6次相遇能夠發生;若、交點的時間坐標，則說明在實際中,這兩只蝸牛是不能再相遇的,亦即第6次相遇不能發生。

本題看似條件不是十分充分,但只要能將相遇的條件理解透徹,其相對運動模型還是十分清晰的.但第6次相遇能否發生取決于初始條件,這需要討論,而這一點往往會令答題者舉棋不定。

對于方法2用一個空間直線模型來處理相遇問題,思維獨到,也更能清晰地說明問題,其能力要求自然更高。