Question

【題目】已知函數f（x）=|x+2|，x∈R．
（1）解不等式f（2x）≤12﹣f（x﹣3）；
（2）已知不等式f（2x）≤f（2x﹣3）+|x+a|的解集為M，且 ，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：不等式f（2x）≤12﹣f（x﹣3），即|2x+2|+|x﹣1|≤12．

x＜﹣1時，不等式化為﹣2x﹣2﹣x+1≤12，解得x≥﹣ ，∴﹣ ≤x＜﹣1；

﹣1≤x≤1時，不等式化為2x+2﹣x+1≤12，解得x≤9，∴﹣1≤x≤1；

x＞1時，不等式化為2x+2+x﹣1≤12，解得x≤ ，∴1＜x≤ ；

綜上所述，不等式的解集為[﹣ ， ]

（2）解：x∈（ ，1），不等式f（2x）≤f（2x﹣3）+|x+a|，即|x+a|≥3，

∴x≤﹣a﹣3或x≥﹣a+3，若M∩（ ，1）=，

∴ ，∴﹣ ≤a≤2，

∵ ，∴a＜﹣ 或a＞2

【解析】（1）分類討論，即可解不等式；（2）x∈（ ，1），不等式f（2x）≤f（2x﹣3）+|x+a|，即|x+a|≥3，求出M∩（ ，1）=的a的范圍，再求補集即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解絕對值不等式的解法(含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號)．