Question

【題目】圓錐透鏡如圖所示，，為錐面，為底面.通過錐頂垂直于底面的直線為光軸.平行光垂直入射于底面，現在把一垂直于光軸的平面屏從透鏡頂點向右方移動，不計光的干涉與衍射.

（1）用示意圖畫出在屏上看到的圖像，當屏遠離錐頂時圖像怎樣變化？

（2）設圓錐底面半徑為，錐面母線與底面的夾角為，透鏡材料的折射率為，令屏離錐頂的距離為，求出為描述圖像變化需給出的屏的幾個特殊位置.

Answer 1

【答案】（1）. （2）在第1問解答中：①②③④所述的變化過程對應于。⑤⑥所述的圖像變化過程對應于。⑦⑧所述的圖像變化過程對應于。

【解析】

（1）入射光線進入透鏡底面時，方向不變，只要在鏡面上發生折射，如圖所示.

由圖可見，過錐面的折射角滿足折射定律，有.

而光線的偏向角，即折射光線與軸的夾角為.

在下圖中畫出在圖面上的入射光線經透鏡后的折射光束的范圍.所有平行入射光線過錐面處和處的折射光線分別相互平行，構成兩個平面光束，交角為.把圖繞光軸旋轉180°.就得到經過透鏡后的全部出射光線的空間分布.

下面分析在屏上看到的圖像及屏向遠處移動時圖像的變化.

①當屏在處時，照到屏，上的光束不重疊，屏上是一個明亮程度均勻的圓盤，半徑略小于.

②屏在、之間時，照到屏上的光束有部分重疊，在光束重疊處屏上亮度較不重疊處大，特別是在屏與光軸的交點，即屏上圖像中央處，會聚了透鏡底面上一個極細的圓環上的全部入射光的折射光，因此這一點最亮.在這點周圍是一個以這點為中心的弱光圓盤，再外面是更弱的光圓環，如圖（a）.

③在屏從到遠移過程中，屏上圖像中央的亮點越遠越亮（這是因為會聚在這里的入射光細圓環半徑增大，面積增大）；外圍光圓盤越遠越大，再外的弱光圓環則外徑減小，寬度減小，直到屏在點時弱光環消失.

④屏在點時，在中央亮點之外有一亮度均勻的光圓盤，如圖（b）.

丁

⑤屏繼續遠移時，圖像又一般地如圖（a）形狀，只是屏越遠中央亮點越亮，亮點周圍光圓盤越小，再外弱光環越寬、越大.

⑥當屏移到點時，圖像中亮點達到最大亮度.外圍是一個由弱光圓環擴大而成的光圓盤，如圖（c）.

⑦屏移過點后到達光束縛不重疊的區域，這時屏上圖像為中央一個暗圓盤，外圍一個弱光圓環，不再有中央亮點，如圖（d）.

⑧屏繼續遠移，圖像形狀仍如圖（d），只是越遠暗盤半徑越大，外圍弱光環也擴大，但環的寬度不變.

（2）在較小時，也小，有，，故.略去透鏡厚度，則，處距的距離分別為，.

因此在第（1）問解答中：①②③④所述的變化過程對應于；⑤⑥所述的圖像變化過程對應于；⑦⑧所述的圖像變化過程對應于.

本題是光的折射及視場問題的基本分析題，只是給定的透鏡是圓錐體，對其形成的光照亮區的描述應考慮到空間屬性，從而提高了一定的難度.但本題對光的疊加區域的分析為光的干涉區域的分析做了鋪墊.