Question

【題目】圖甲所示為一給草地澆水的玫瑰（噴嘴），它位于草坪的平面上，其頂為球形，且，在球形頂上有一些完全相同的噴水孔，通過這些孔，水以相同的速率向不同的方向噴出。問：

（1）．若玫瑰上的小孔分布均勻，噴頭形成的“水鐘”的形狀是怎樣的？

（2）．若這些孔均勻分布，水將不能均勻地灑在草地上。為了使水均勻地灑在草地上，則玫瑰上單位面積內小孔的數目n與角的關系是怎樣的？（計算中可不計噴嘴的大小）

Answer 1

【答案】（1）攻瑰噴出的水所形成的“水鐘”的形狀為上述拋物線繞y軸旋轉所形成的形狀（2）

【解析】

（1）由于噴出的水的分布在空中具有旋轉對稱性，我們只需要討論過軸線的一個平面內的形狀即可。

如圖乙所示，從每個小孔中噴出的水流的軌跡是一條拋物線，從不同角度射出的水流形成的拋物線有一包絡線，將平面內的包絡線以中心軸旋轉，即是“水鐘”的形狀。下面我們先求包絡線的方程。

對于與y軸成角噴出的水而言，有

， ①

。 ②

據此，易得噴出的水的射程為

。

顯然，當時，水的射程最遠，這意味著在范因內，包絡線將連續涵蓋所有的水流。

又由①②可得，每一來水流的拋物線方程為，

整理得。對于上式，應該是有解的，此時對于x、y應滿足，即。

此即表明水流到達不了的區城，即所要求的包絡線方程為。

攻瑰噴出的水所形成的“水鐘”的形狀為上述拋物線繞y軸旋轉所形成的形狀。

2．如圖丙所示，我們選取從與對稱軸賣角為至的微小環帶上噴孔中噴出的水為研究對象，我們應讓從玫瑰上這一環帶中噴出的水均勻地灑在內外半徑分別為和的環帶中，這里和分別為玫瑰從至的環帶上的噴孔中噴出的水的水平射程。

從與對稱軸夾角為的小孔處噴出的水滴，其水平射程為

與對稱軸夾角為的小孔處噴出的水滴，其水平射程為

，

則環帶寬度為

。

上式中用到小量近似：，。

澆到半徑為R、寬度為的環帶上的水是從至的環帶上小孔中噴出的，該環帶的寬度為，其噴水量Q與環帶上的小孔數成正比：

，

式中，是比例常數。

因要求灑水均勻，則澆到半徑為R，寬度為的環帶上的水量與環帶的面積成正比，所以，

式中，是比例常數。

由得

。

比例常數、的大小取決于需要噴水的多少。